Rozwiązanie ogólne równania quasiliniowego w przypadku funkcji dwóch zmiennych niezależnych

Ponieważ każda powierzchnia całkowa równania

\( P(x,\,y,\,z)\,z_x+Q(x,\,y,\,z)\,z_y=R(x,\,y,\,z) \)

może byc utkana z rozwiązań Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe-( 2 )

\( \frac{d\,x}{d\,t}=P(x,\,y,\,z), \quad \frac{d\,y}{d\,t}=Q(x,\,y,\,z), \quad \frac{d\,z}{d\,t}=R(x,\,y,\,z), \)

to znalezienie rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego sprowadza się do scałkowania stowarzyszonego z nim układu dynamicznego.

Definicja 1:

Układ

(2)

\( \frac{d\,x}{{}P(x,y,z)}=\frac{dy}{{}Q(x,y,z)}=\frac{dz}{{}R(x,y,z)}=dt \)

nazywa się postacią charakterystyczną równania ( 1 ).

Algorytm uzyskania rozwiązania ogólnego układu jest następujący:

1. Rozwiązując układ ( 2 ), znajdujemy dwie niezależne całki pierwsze

\( \psi^1(x,\,y,\,z)=C_1,\,\,\, \psi^2(x,\,y,\,z)=C_2. \)

Funkcje te nazywamy charakterystykami. Sprawdzając, czy otrzymane charakterystyki sa niezależne, stosujemy następujące kryterium:

\( \text{rank} \frac{\partial\,(\psi^1,\,\psi^2)}{\partial\,(x,\,y,\,z)}|_{(x,\,y,\,z)\,\in\,U}=2,\,\,\,\text{gdzie}\,\,\,U-\text{zbiór otwarty w}\,\,\, R^3. \)

2. Wybieramy dowolną gładką funkcję dwóch zmiennych \( \Phi(z_1,\,z_2) \), następnie rugując stałe \( C_1,\,\, C_2 \) z układu

\( \Phi(C_1,\,C_2)=0, \qquad \psi^1(x,\,y,\,z)=C_1, \qquad \psi^2(x,\,y,\,z)=C_2, \)

otrzymujemy równanie opisujące (dowolną) powierzchnię całkową

(3)

\( \Phi\left[\psi^1(x,\,y,\,z),\,\psi^2(x,\,y,\,z)\right]=0. \)

Należy oczywiście sprawdzić, czy wzór rzeczywiście w sposób niejawny zadaje funkcję \( z(x,\,y) \), spełniającą równanie. Dla sprawdzenia zrózniczkujmy więc wzór ( 3 ) względem \( x \) i \( y \):

\( \begin{array}{l}0=D_x\,\Phi\left[\psi^1(x,\,y,\,z),\,\psi^2(x,\,y,\,z)\right]=\Phi_1 \left(\psi^1_x+\psi^1_z\,z_x \right) +\Phi_2 \left(\psi^2_x+\psi^2_z\,z_x \right), \\ 0=D_y\,\Phi\left[\psi^1(x,\,y,\,z),\,\psi^2(x,\,y,\,z)\right]=\Phi_1 \left(\psi^1_y+\psi^1_z\,z_y \right) +\Phi_2 \left(\psi^2_y+\psi^2_z\,z_y \right), \end{array} \)

gdzie

\( D_x=\frac{\partial }{\partial \,x}+\frac{\partial \,z}{\partial\,x}\,\frac{\partial }{\partial \,z} \)

jest to pochodna zupełna względem \( x \), \( D_y \) określa się analogicznie; \( \Phi_1, \,\,\Phi_2 \) są to odpowiednio pochodne cząstkowe względem pierwszej i drugiej zmiennej funcji \( \Phi \). Pochodne cząstkowe funkcji \( z \) mają wówczas postać

\( z_x=-\frac{\Phi_1\,\psi^1_x+\Phi_2\,\psi^2_x}{\Phi_1\,\psi^1_z+\Phi_2\,\psi^2_z}, \qquad z_y=-\frac{\Phi_1\,\psi^1_y+\Phi_2\,\psi^2_y}{\Phi_1\,\psi^1_z+\Phi_2\,\psi^2_z}. \)

Podstawiając powyższe wzory do lewej strony równania ( 1 ), otrzymamy:

(4)

\( P\,z_x+Q\,z_y=-\frac{\Phi_1\,\left(P\,\psi^1_x+Q\,\psi^1_y \right)+\Phi_2\,\left(P\,\psi^2_x+Q\,\psi^2_y \right)}{\Phi_1\,\psi^1_z+\Phi_2\,\psi^2_z}. \)

Ponieważ \( \psi^i \) dla \( i=1,\,2 \) spełniają układ ( 2 ) , zatem

\( P(x,\,y,\,z)\,\psi^i_x+Q(x,\,y,\,z)\,\psi^i_y=-R(x,\,y,\,z)\,\psi^i_z, \qquad i=1,\,2. \)

Podstawiając je do prawej strony wzoru ( 4 ), otrzymujemy równanie ( 1 ) i to konczy dowód.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązanie ogólne równania quasiliniowego w przypadku funkcji dwóch zmiennych niezależnych

Definicja 1: